样条配点法在汽轮机转子矫直分析中的实际应用

T(r)＝a₁lnr＋a₂

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图3　直轴加温曲线
Fig.3　Temperature vs. time for aligning a rotor

式中　a₁、a₂均为与温升率和初始温度有关的常数，表1为计算结果。从表1发现，大轴四次升温内外壁温差均在12～16℃之间，说明径向温度场不均匀。通过计算发现，升温速率低于30.5℃/h可使大轴内外壁温差低于10℃。

表1　计算结果
Tab.1　Calculation result

序号	初始温度 T₀/℃	温升率 ℃/h	a₁	a₂	内外壁温差 ΔT/℃
1	80	37.5	10.27	685.15	15.6
2	400	33.5	7.92	681.7	12.04
3	300	38.9	8.61	682.72	13.09
4	300	32.7	7.97	681.76	12.11

4　样条配点法分析转轴的矫直过程

　　根据现场的直轴经验，转轴的加热长度主要根据摩擦部位的轴向长度而定，这可能是由于摩擦部位存在较大的残余应力。为了消除转轴的残余应力和金属表面的硬化现象，防止摩擦段材料在直轴加压过程中产生裂纹，直轴前须对转轴进行稳定退火处理。退火后转轴内残余应力基本得以消除，转轴亦可部分地被矫直。由梁的弯曲理论，蠕变法直轴过程中，转轴横截面上任一点的正应变为

ε＝ε^e＋ε^T＋ε^c(10)

式中　ε^e为弹性应变；ε^T为热膨胀应变，ε^T＝α(T－T₀);ε^c为蠕变应变。略去横截面上剪应力的影响，则由虎克定律得

ε^e＝ε－(ε^T＋ε^c)＝σ_x/E(T)　　(11)

式中　T为转子轴横截面上任一点的温度；T₀为室温；α为线膨胀系数；σ_x为横截面上任一点的正应力；E(T)为转子材料在温度为T时的弹性模量。设w₀为加压前转子轴线的弯曲值，w为对应于外载P作用下转子轴线的挠度，w_e为对应外载作用下转子的弹性挠度值，则任意时刻卸去外载后转子轴线的实际残余弯曲值为

w_res＝w＋w₀－ω_e(12)

转子任一截面上的弯矩为

　　(13)

设转轴在弯曲过程中满足平截面假设，则有

ε－ε^T－ε^c＝－y/ρ＝－y(d²w/dx²)　　(14)

　　由前分析，当转子内外壁温度相差很小时，考虑到应力松弛的作用，可近似假设任意截面上的温度场为均匀的，即ε^T为常数。将(14)代入(13)得

M(x)＝G(x)(d²w/dx²)＋M^c(x)　　(15)

式中

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　　控制方程(15)式中，M^c(x)为非线性项，需求出蠕变应变后才能得到M^c(x)。对于非线性蠕变问题，因为蠕变过程中应力重新分配，蠕变量与瞬时应力水平有关，而瞬时应力水平又是时间的未知函数。因此，本文在时域上采用初应力法进行离散而迭代求解^［2］。即将蠕变经历的时间分成有限间隔，首先求出初始时刻的弹性应力状态，假定任一微小时段内应力不变，按Δt_i初的应力水平进行蠕变，这样就将变应力情况下求蠕变量问题看作是求逐段常应力蠕变量的累积。按显式欧拉法进行迭代，t＋Δt时刻的蠕变应变为ε^c_i(t＋Δt)＝ε^c_i－1(t)＋Δt_iε^c_i－1(t)。假定ε^c_i(t＋Δt)为已知，则可求出t＋Δt时刻的M^c(x)，为求出转子在t＋Δt时刻的应力、位移分布，需要求解(15)式。当M^c(x)为已知时，(15)式为线性微分方程，本文用样条函数配点法对其进行数值求解。对转轴的横向位移w用样条函数进行离散，选用三次B样条函数的线性组合作为试函数。则

　　(16)

式中　a_i为待定系数;φ_i(x)为三次B样条函数的线性组合。将上式代入(15)式得内部残值

　　(17)

　　取样条节点x_i＝x₀＋i(x_n－x₀)/n。其中，i＝0,1,2,…,n为配置点，则可得n＋1个内部残值方程

｛R｝_a＝［R₁，R₂，…，R_n］^T　　(18)

　　利用边界条件，得出边界残值式｛R｝_b, 要求试函数在配置点及边界上的残值为零，则可得残值方程 3.5.gif (661 bytes) 。将t＋Δt时刻的M^c(x)代入残值方程后，残值方程为一线性代数方程组，用数值法求解，则可求出在时刻t＋Δt的待定系数a_i。

5　算例及讨论

　　以200MW高压转子的矫直作为算例，设汽轮机组型号为N200－130－535/535，转子材料为30Cr2MoV合金钢，高压转子总长度为4377mm，轴外径为D＝457mm，轴中心孔径d＝100mm，转轴当量直径D₁＝450mm。高压转子发生弯曲后，经退火处理，转轴得以部分矫直，直轴前最大弯曲值为0.23mm。转子材料在常温下的弹性模量为E＝220GPa, 在600～700℃范围内，E_T＝175GPa。由于仅作为算例，本文在计算时将转子简化为在最大弯曲点附近受一集中载荷的两端简支梁，并假设连续保温加载，因而可用(3)式求蠕变。
　　由于转轴经退火处理，因而假设退火后转轴摩擦段内的残余应力很小，可以忽略。如果转子摩擦段未经退火或退火后残余应力较大时，则计算的初始条件中，必须附加上转轴摩擦部位初始应力状态的条件。本文主要探讨数值方法的可行性，因而算例中未讨论诸如转轴摩擦部位初始应力状态对转轴矫直影响等问题。以下分析中，x_T为加热段边界与右支承点的距离,l_T为电感应加热段的长度。为简化温度场分析，假设加热段内温度场为均匀的， T＝660℃。图4为应用上述方法计算所得的三种不同加温直轴方案下转轴经矫直后的剩余弯曲值，其中曲线0为矫直加压前的转子弯曲曲线,计算时假设载荷加在最大弯曲点处，载荷P＝886KN，x_T＝0.55m,曲线1为取加热段长度l_T＝0.4m时,转轴经矫直后的剩余弯曲值；曲线2为取加热段长度l_T＝0.6m时, 转轴经矫直后的剩余弯曲值; 曲线3为取加热段长度l_T＝1.2m时, 转轴经矫直后的剩余弯曲值。对比曲线1、2、3不难发现，对应于曲线2的加热方案最佳, 对应于曲线1的加热方案次之, 对应于曲线3的加热方案最差。计算表明，如果加热段长度过长或过短，则无论加压时间有多长，转轴均不能被矫直，亦即转轴在矫直过程中被逐步弯曲成S形状(已扣除弹性变形的影响), 导致无法达到矫直的精度要求。由此可见，加热段的位置和长度的选取是十分重要的(根据现场经验，l_T须覆盖摩擦段)。限于篇幅，略去了最大弯曲点的剩余弯曲值随时间变化图。

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图4　不同矫直方案下转子的剩余弯曲线
Fig.4　Residual bending value of a rotor at
different straightening scheme

　　图5为取l_T＝1.2m，转轴三个典型横截面上的非线性应力重新分布(应力趋于稳定时)情况。在初始弹性变形情况下，横截面上的应力呈线性分布，随着蠕变的增长，转轴横截面上的应力重新分布，横截面上高应力区域的应力幅值随时间衰减，即发生应力松弛现象。根据计算结果，转轴经矫直后残余应力最大值为3.61MPa，这说明转轴经蠕变矫直后，残余应力值较小。

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图5　横截面上的应力重新分布
Fig.5　Stress redistribution at several cross sections

6　结论

　　笔者在较宽的温度范围内对转子钢进行了高温强度实验和蠕变实验，实验结果对于转子的矫直技术具有实际意义。所推导的转轴温度场方程和编制的分析软件，可用于分析汽轮机转子在矫直过程中的温度场、应力、应变、位移及矫直后的残余应力。据有关资料，国外曾将直轴温度提高至800℃，直轴效果良好, 但如此高的温度对材料组织的影响如何还不清楚，尚需进行实验研究。我国的直轴技术也在不断发展，已积累了非常丰富的经验。本文的目的是提供了一种较方便的蠕变矫直计算方法，为现场直轴提供较为合理的加热、加载矫直方案。为了使计算模型与实际更接近，需要进一步结合现场的直轴经验，并在理论和实验方面作更深入的研究。

致谢

　　张保衡教授为本文的工作提供了有益的指导，深表感谢。

基金项目：国家自然科学基金(19702003)和中华电力教育基金资助项目。
　

参考文献：

［1］魏毓华. 汽轮机转轴的弯曲与矫直［J］. 中国电机工程学报, 1992,12 (2): 28～33.
［2］穆霞英. 蠕变力学［M］. 西安:西安交通大学出版社, 1990: 11～34.
［3］杨宜科.金属高温强度及试验［M］. 上海: 上海科学技术出版社, 1983.
［4］Noda N.J of Thermal Stresses［J］，1984, 7(2): 135～147.
［5］顾泽同等. 工程热应力［M］.北京: 国防工业出版社, 1987: 63～70.
［6］竹内洋一郎. 热应力［M］.北京: 科学出版社, 1982: 171～178.

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