齿轮传动机构人工神经网络辅助优化设计

1　BP神经网络模型原理

　　BP(Back Propagation)网络亦称误差逆传播网络，是最成熟和应用最广的人工神经网络。图1所示为典型的三层BP网络结构图，它由输入层、隐含层和输出层组成，层与层之间采用全互连方式连接，同一层结点之间无连接。
　　当给定一输入模式X=(x1，x2，…，xm)和希望输出模式Y=(y1，y2,…，yn)时，网络的实际输出和输出误差可用下列公式求出：
　　隐含层输出：

　　(1)

　　网络实际输出：

　(2)

　　网络输出误差平方和：

　　(3)

式中：wij、vjk——输入层至隐含层，隐含层至输出层的连接权；
　　θj、φk——隐含层结点、输出层结点的阀值；
　　m、h、n——输入层、隐含层、输出层结点数；
　　f——S型函数，f(x)=(1+e－x)-1。
　　如果误差太大不满足要求，则需要用下列公式修正各连接权和阀值：

　　(4)

　　(5)

式中：α、β——学习率：α>0、　β<1。

图1　三层BP网络结构图

　　给网络提供一组特定的训练模式，随机产生初始连接权和阀值，不断重复上述计算过程，直到网络全局误差小于给定的极小值为止。此时，该BP网络通过学习便具备了映射该特定问题的能力。

2　齿轮机构BP网络辅助优化设计

　　现以直齿圆柱齿轮传动机构体积最小优化设计为例，对齿轮机构BP网络辅助优化设计方法加以说明。
　　某直齿圆柱齿轮机构已知齿数比u=4,小齿轮扭矩T1=100 N*m，转速n1＝2 000 r/min,精度为7级，轴承对齿轮非对称布置。小齿轮材料为40Cr,大齿轮材料为45号钢，许用应力为［σ］H1＝680 MPa,［σ］H2＝550 MPa,［σ］F1＝288 MPa,［σ］F2＝204 MPa。
设计变量：X=［m,z1，φd］T＝［x1,x2,x3］T
目标函数：
模数约束条件：
齿数约束条件：
齿宽系数约束：
齿面接触疲劳强度约束条件：

式中：计算应力：
齿根弯曲疲劳强度约束条件：
式中：计算应力：

　　为了在优化过程中减少求计算应力所带来的麻烦，提高优化效率，现利用BP神经网络所固有的快速、非线性映射特性，来实现齿轮计算应力的简化计算：
　　(1)确定映射网络结构，计算网络参数
　　已知初始点即原设计参数为：
　　X（0）＝［x1，x2，x3］T＝［2．5，32，0．9］T，在初始点附近给设计变量x1～x3各取5个离散值：
　　x1＝（1．5，2，2．5，3，4）
　　x2＝（28，30，32，34，36）
　　x3＝（0．8，0.9，1，1.1，1.2）
　　将这些离散值进行全排列共产生125种组合，并用文献［2］的程序求出相应的σH、σF1、σF2的125组精确解，然后用这125个学习模式对BP网络进行训练，结果见表1。由该表可见学习次数相同时，结构为(3-5-3)的BP网络学习收敛效果较好。表2、表3给出了结构为(3-5-3)的网络经过5 000次学习后的各层间连接权和结点阀值。

　　　　表1　125个样本训练BP网络结果网络结构学习次数误差平方和(3-5-3)5 0000.001 9(3-6-3)5 0000.003 2　　(2)BP网络辅助优化设计
　　为了检验该训练网络的映射能力，选取训练模式对之外的8个模式对组成测试集测试该训练网络，表4给出了测试结果。由该表可见网络的最大输出相对误差不超过7.3%，能满足设计要求。说明该训练网络具有较强的映射能力，可用该网络的输出代替齿轮计算应力进行齿轮传动优化设计。表5给出了使用惩罚函数法算出的圆整后的优化结果。由此可见齿轮传动机构BP网络辅助优化设计能够获得满意的结果。

表2　输入层至隐含层的连接权、隐含层结点阀值输入层结点连接权隐含层结点123阀　值1－4.964 0－5.369 6－1.148 36.998 32－7.107 2－4.957 3－4.230 79.783 13－6.133 1－3.514 9－5.791 48.861 24－1.735 3－4.319 6－2.479 05.566 65－8.475 6－1.288 70.432 97.051 1

表3　隐含层至输出层的连接权、输出层结点阀值隐含层结点连接权输出层结点12345阀　值14.397 23.165 41.123 73.429 01.238 9-1.108 223.369 54.648 25.220 22.141 11.950 2-2.304 033.079 95.141 14.880 42.192 41.967 0-2.305 3

表4　结构为(3-5-3)的BP网络测试结果网络输入网络期望输出网络实际输出x1x2x3σHσF1σF2σ′Hσ′F1σ′F21.75310.85728.62287.34262.69759.61307.59281.081.75310.95689.21257.09235.04712.32275.22251.391.75330.85663.40253.56231.81690.64266.54243.851.75330.95627.51226.87207.41651.48242.64221.952.25310.85499.79133.01121.60495.51131.08119.802.25310.95472.75119.01108.80467.73122.74112.152.25330.85455.05117.38107.31455.52118.58108.432.25330.95430.43105.0296.01434.31112.63102.97

表5　直齿圆柱齿轮传动机构优化设计结果设计方法模　数小齿轮齿数齿宽系数体积之和(mm3)原始设计2.5320.96 151 680优化设计2.5300.84 505 625　　
    虽然本文只将神经网络辅助优化设计方法应用于直齿圆柱齿轮传动机构，但该方法同样适应于斜齿、圆锥、蜗轮蜗杆等其它方式的齿轮传动机构的优化设计。随着人工神经网络技术的不断完善和发展，机械人工神经网络辅助优化设计将有更广阔的应用前景。

选自《机械设计》