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分类号：TH132.4 文献标识码：A
文章编号：1001-3997(2000)01-0029-02▲ 圆弧齿轮传动在实际工作中已获得了广泛的应用，展示了其独特的优越性。由于圆弧齿轮传动是点啮合传动，从理论上讲，点啮合传动的两齿廓只有一点接触，齿轮只有一点受力是十分不利的，只有齿轮经过充分跑合后，两齿廓的点接触将变为区域接触，这样圆弧齿轮的强度才能比较高，所以要想充分发挥圆弧齿轮的承载能力，提高寿命，使其降低噪音等优点。圆弧齿轮在使用前的充分跑合与否将起着关键性作用。
在实际生产中，圆弧齿轮加工工艺一般是“精滚代磨”。对软齿面来说，滚切齿轮是最后的工艺因而滚刀的齿形误差将影响齿轮的齿形精度，而目前滚刀的设计方法普遍采用比较近似设计方法。即取基准齿形作为滚刀基本蜗杆的法向齿形，滚刀刃形误差将以相同规律，反映到被加工齿轮上，使齿轮传动精度下降，在使用前必须经过长时间的跑合来消除这种误差。这使齿轮的生产周期增长而成本提高，所以设计双圆弧齿时应充分考虑其跑合性能，使其在短的时间内，就达到充分跑合，这在经济效益及技术应用上都起着很大意义。 1 基本原理 用空间啮合原理精确设计非渐开线齿轮滚刀的齿形很复杂，我们采用了平面啮合的“法面齿条法”，即用中间公共齿条把空间啮合问题转化为平面啮合问题，把滚刀的法向齿形视为与工作齿条齿形共轭，按平面啮合原理，由已知的基本齿条齿廓，求出滚刀的基本蜗杆端面齿形，进而求出滚刀齿形。
滚刀与齿轮的啮合关系是空间交错轴螺旋面齿轮的啮合关系。奥利弗原理认为：互为包络的曲面，可以构成共轭曲面。这就是啮合滚刀齿形计算方法的理论基础。互为共轭的螺旋齿轮的齿面在滚切过程中，滚刀齿形的运动方向是与被加工齿轮的齿向一致的，因此，可以假想有一齿条与被加工齿轮的齿条方向运动，以形成齿条齿面，该齿条齿面与被加工齿轮作相对啮合运动，从而包络出被加工齿轮的齿面来，同时该假想齿条齿面又与滚刀做相对啮合运动，以其面的另一侧面包络出滚刀齿面。这一假想齿条齿面就称为中间公共齿条或共轭齿条。因此，就把齿轮与滚刀基本的啮合分解为齿轮、滚刀基本蜗杆分别与齿条啮合。这样采用齿轮啮合的基本原理的求解方法，可使得计算方法简化，下面就是以双圆弧齿轮滚刀计算为例，来实现此基本思想。 2 精确求圆弧齿轮滚刀齿面方程 在标准JB2940-81中，规定了双圆弧齿轮的基本齿条在法截面内的齿形，即为基准齿形，图1为分阶式双圆弧基准齿形 
图1 分阶式双圆弧齿轮基准齿形 以基准齿形所在平面设置座标系O′—X′Y′Z′，X′轴通过齿形的对称面，Y′轴通过节线。基准齿形沿齿廓可分成四段圆弧，第i段圆弧曲线的坐标为(X′i,Y′i,Z′i′)是由ρi，Ei，Fi，αi的函数在所示坐标系中有：
X′i=ρisinαi+EiY′i=ρicosαi+FiZ′i=0
i=1,2,3,4 (1) Ei——第i段圆弧中心O′i在O′—X′Y′Z′，中的X′轴坐标值
Fi——第i段圆弧中心O′i在O′—X′Y′Z′，X′中的Y′轴坐标值
ρi——第i段圆弧半径
αi——第i段圆弧的向径与Y′轴的夹角(逆时针为正)
为了便于计算滚刀齿面方程，现将基本齿条齿形方程(1)由原坐标O′—X′Y′Z′，转化为OF—XFYFZF的坐标系。如图1所示，OF—XFYF的坐标平面OFXFYF为基准齿形所在平面，则变换矩阵为： 
如图2所示，坐标系Os—XsYsZs的坐标平面Os—XsYs与齿条端面重合则变换矩阵为： β —螺旋角 
图2 坐标系变换示意图 由此可得双圆弧齿轮基本齿条齿面方程为：  (2)
为了求出由圆弧齿轮斜齿条所包络的滚刀齿面方程，首先应按齿条和滚刀接触点应满足的条件。根据空间啮合基本原理，求共轭齿面的接触点M，M在两齿面上的相对运动速度矢量，应该位于过M点的两齿面的公切面内，即齿条和滚刀齿面的接解点M应满足条件：ns.νs=0 (3)
式中： ns——齿条上M点的法向矢量
νs——齿条和滚刀的在M点的相对运动速度矢量
设： 与齿条固定连接的座标系为OsXsYsZs
与滚刀固定连接的座标系为OXYZ
与辅助的静座标系为PXPYPZP
如图(3)所示根据微分几何关系可得 
图3 坐标系变换示意图 得接触条件方程式为： r0φ-usinβ-Fcosβ-Ectgαcosβ=0 (4) r0——滚刀节圆半径
φ——齿轮范成运动转角参数
齿面方程式，由座标系OsXsYsZs转换到座标系OXYZ中，转换矩阵为： 
由此可得：X=(-ρsinα+E+r0)cosφ+［(ρcosα-F)cosβ-usinβ+r0］sinφ (5) Y=(-ρsinα+E+r0)sinφ+［(ρcosα-F)cosβ-usinβ+r0］cosφ
Z=(ρcosα-F)sinβ+ucosβ
将方程式(4)(5)联立得滚刀齿面方程为：
X=(ρsinα+E+r0)cosφ+(ρcosα+Ectgα)cosβsinφ
Y=(ρsinα+E+r0)sinφ+(ρcosα+Ectgα)cosβcosφ
Z=Pφ-Ectgαcosβctgβ-F/sinβ+ρcosαsinβ 3 计算结果及分析 由上述推导过程可知：圆弧齿轮滚刀精确设计方法，应当按照空间啮合原理，把滚刀看作和基本齿条相啮合的空间交错轴的螺旋运动所形成的包络面。而现用的以基准齿形作为滚刀法向齿形的设计方法是一种近似的设计方法，必然引起理论上的误差，引致齿轮的实际尺寸与理论齿形尺寸不符，则其滚切加工出来的圆弧齿轮，都要进行必不可少的跑合过程。为了讨论这两种滚刀设计方法对圆弧齿轮的齿形误差的影响，这里从两方面来论证。一方面是在理论计算中，模拟圆弧齿轮的加工过程，得到其齿形与现用JB2940-81齿形相比。另一方面进行了能圆弧齿轮跑合性对比试验。以下结果： 表1 不同的λ和Mn引起的加工齿形误差(mm) Mn
λ 4625302°36’0.0020.00360.0860.145°16’0.0040.00970.150.18 (1)这里推导的圆弧齿轮滚刀设计方程，加出的圆弧齿轮的齿形与标准齿形相比在理论上误差为零。
(2)现用的以基准齿形作为滚刀法向齿形的设计方法是一种近似的设计方法，其加工出的圆弧齿轮的齿形误差大小见表1，其误并随滚刀模数Mn和螺旋升角λ的增加而增大。
(3)圆弧齿轮跑合性能对比试验是在机械封闭功率流式齿轮试验台上进行，通过测试齿面接触斑迹的大小、磨损量和跑合时间来评定齿轮跑合性能。试验结果充分证明了采用这里滚刀加工出的圆弧齿轮的跑合性能优于近似滚刀加工出的齿轮。■ 作者单位：吴洁（沈阳大学，沈阳 110044）
王善政（沈阳大学，沈阳 110044）
蔡春源（东北大学，沈阳 110006） 参考文献： ［1］A.S.Yakvlev.V.Ya.Veretennikov and G.G.Muzalevskaya.The Basic Profile and the Scope of Application of Novikov Geering, Soviet Engineering Research 1989.
［2］太原工学院齿轮研究室主编.圆弧齿轮.机械工业出版社，1981. | 
