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99—4—13 Design method of shape memory alloy helical spring Jia Baoxian(Petroleum University ) Abstract: This paper introduced the disigning principle, method and present situation of development of shape memory alloy helical spring. A discussion has been carried out on three kinds of the commonly used designing method.
Key words: Shape momory alloy,Helical spring, Design method.
Fig 6 Tab 0 Ref 4 “Jixie Sheji”8249 1 引言
目前，形状记忆合金(Shape Memory Alloys，以下简称SMA)的应用日益广泛，涉及电器、机械、运输、化工、医疗、能源和生活日用品等领域，特别是在机器人、机械手方面的应用日益增多，而应用的形式多以SMA螺旋弹簧为主。
SMA的特点是具有形状记忆效应，它在高温下定形后，冷却到低温(或室温)，并使它产生残余变形，如果再加热到相变温度后，就会使残余变形消失，并回复到高温下的固有形状，随后，再进行冷却或加热，将继续保持高温下的形状不变，上述过程可以周而复始地进行，仿佛合金记住了高温状态所赋予的形状一样，这种现象称为单程记忆；如果对材料进行特殊处理，在随后的加热和冷却循环中，能够重复地记住高温和低温状态的两种形状，称为双程记忆；某些形状记忆合金在实现双程记忆的同时，继续冷却到更低温度，可以出现与高温时完全相反的形状，称为全方位记忆(也叫全程记忆)。如图1所示。
图1 三种类型形状记忆效应示意图 螺旋弹簧大都使用单程或双程记忆效应，特别是双程记忆效应，它随着温度的上升和下降，能实现两个方向的动作，使用起来十分方便。
本文从SMA的相变机理出发，对SMA应力—应变关系进行了描述，对SMA螺旋弹簧的设计问题进行了探讨，介绍了SMA螺旋弹簧的三种设计方法。 2 热弹性马氏体相变
SMA的形状记忆效应源于热弹性马氏体相变，这种马氏体一旦形成，就会随着温度下降而继续生长，如果温度上升它又会减少，以完全相反的过程消失。两项自由能之差作为相变驱动力。两项自由能相等的温度T0称为平衡温度。只有当温度低于平衡温度T0时才会产生马氏体相变，反之，只有当温度高于平衡温度T0时才会发生逆相变。
图2给出了马氏体含量同温度之间的变化关系，其中有四个重要参数：
Ms——马氏体相变开始温度；
Mf——马氏体相变结束温度；
As——逆(奥氏体)相变开始温度；
Af——逆(奥氏体)相变结束温度。
图2 马氏体含量与温度的关系 在SMA中，马氏体相变不仅由温度引起，也可以由应力引起，这种由应力引起的马氏体相变叫做应力诱发马氏体相变，且相变温度同应力呈线性关系，如图3所示。
图3 相变温度与应力的关系 当T<Af时，外力作用发生马氏体转变，产生残余变形，如果加热到Af以上时，就会发生逆相变，使应变消失，恢复原状(如图4所示)，这就表现了它的形状记忆效应，在形状恢复过程中，如果受到外力约束，则在材料内部就会产生较大的回复力，回复力的大小同应变γ、温度T以及马氏体含量ξ密切相关。利用这一特性，可将SMA作为驱动元件。
图4 形状记忆效应 3 SMA应力—应变关系的特点
形状记忆效应的最大特点是集感温—驱动两项功能于一体。作为驱动元件，它和普通螺旋弹簧类似，但又有所不同。主要表现在：
(1)普通螺旋弹簧的应力—应变曲线呈线性，而SMA螺旋弹簧的应力—应变曲线呈非线性；
(2)普通螺旋弹簧的应力—应变特性与温度无关，而SMA螺旋弹簧 的这种特性与温度密切相关；
(3)普通弹簧在加载与卸载过程中的特性曲线是重合的，而SMA的特性曲线存在温度滞后或应变滞后现象。
综上所述，SMA的应力—应变曲线是非线性的，剪切弹性模量等机械、力学特性也不是常数，而是随温度变化的，所以，普通螺旋弹簧的设计公式不能简单地拿过来使用。 4 SMA的力学模型及特征量
很多文献都对双程记忆效应SMA的整体相变过程进行了描述。一般观点认为：应力τ是应变γ、温度T以及马氏体含量ξ的函数。即：
τ=τ(γ,T,ξ)
而且已经证实，在应变一定的条件下，当马氏体含量ξ为零(高温态)时，回复应力最大；当马氏体含量ξ为100%(低温态)时，回复应力最小。也就是说，马氏体含量ξ也是温度T的函数。因此，上式可以简化为：
τ=τ(γ,T) (1) 所以，在设计SMA弹簧时不能直接应用线弹性定律，必须对具体使用的SMA进行形状记忆测试，以测试结果为依据进行具体设计。
经过大量测试，已经得出如下结论：
(1)SMA的弹性模量随温度升高而加大，完全马氏体状态下最小，完全奥氏体状态下最大；两种状态下的弹性模量之差随初始应变的增大而增大；
(2)在完全马氏体状态或者在完全奥氏体状态下，弹性模量受温度的影响极小，而在这两者之间是随温度显著变化的；
(3)马氏体相变以及逆相变的速度很快。
如果在这里我们仍然借用虎克定律，就可以写成：
τ=Gγ (2)
但必须清楚，这里的剪切弹性模量G是变化的。
SMA螺旋弹簧是利用热循环进行工作的，在热循环过程中，利用SMA螺旋弹簧把热能转变为机械能，一次热循环可以分成如下六步：
(1)SMA由初始状态T=Tmin加热到As；
(2)将SMA加热到Af；
(3)SMA继续加热到Tmax；
(4)SMA由Tmax冷却到Ms；
(5)SMA冷却到Mf；
(6)SMA继续冷却到Tmin。
根据以上讨论，剪切弹性模量G可以写成：
(3) 根据实验测量结果(如图5所示)。
图5 弹簧剪切弹性模量随温度的变化 由图5可以拟合出在相变过程中，剪切弹性模量随温度的变化关系：
当Mf≤T≤Af时，剪切弹性模量G可以用以下近似公式表示：
G=GL＋aγ［1＋sinω(T-Tm)］
它与材料有关，还与初始应变有关。
在冷却过程中，即进行马氏体相变时：
在加热过程中，即进行奥氏体相变时：
由此可知，ω(T-Tm)的取值范围是 5 SMA螺旋弹簧的设计
对于SMA螺旋弹簧，常用的设计方法有三种：表观设计法、图解设计法和回归分析法。
5.1 表观设计法
所谓表观设计法，就是将高温时的剪切弹性模量GH和低温时的剪切弹性模量GL看作常数，并利用普通螺旋弹簧的设计公式，对SMA螺旋弹簧进行设计。
对普通螺旋弹簧，其设计公式有以下几个：
(1)弹簧指数C
 (4) (2)应力公式修正系数k
 (5) (3)弹簧丝表面的剪切应力τ及弹簧丝表面的最大剪切应力τmax
 (6)  (7) (4)弹簧丝表面的最大剪切应变γ
 (8) (5)弹簧丝的扭转角φ
 (9) (6)弹簧在载荷作用下的位移量δ
 (10) 表观设计法的具体步骤如下：
(1)首先确定最大剪切应变γmax。
γmax的大小取决于循环使用次数，循环寿命越长，γmax越小，以TiNi合金为例，当取100万次的循环寿命时，可将γmax定为0.8%，如取循环寿命为几万次时，γmax可定为1.5%。由于马氏体状态下剪切弹性模量较小，同样载荷下，此时的应变较大，所以，一般取：
γmax=γL (11) (2)确定奥氏体状态时的切应变γH。
可分为以下两种情况：
①若已知奥氏体状态时的弹簧位移量δH，由于γ正比于δ，所以此时的剪切应变γH可由下式求得：
 (12) ②若已知高、低温度下的载荷时，应变γ与载荷F成正比，与弹性模量G成反比，故奥氏体状态时的剪切应变γH可由下式求得：
 (13) (3)确定高温(奥氏体状态)时的剪切应力τH。
τH=γHGH (14) (4)选择弹簧指数C，由式(5)计算应力修正系数k值。
(5)计算簧丝直径d和弹簧中径D。
由普通螺旋弹簧的设计公式(7)得：
 (15) D=Cd (16) (6)计算螺旋弹簧的有效圈数n。
将式(10)代入式(8)可得：
 (17) Δδ为弹簧在高、低温时的位移之差，即弹簧的工作行程，由此可得：
 (18) 将马氏体和奥氏体状态时的剪切应变之差(亦即高低温度时的剪切应变之差)Δγ=γL-γH代入上式即可求得n值。
至此，就求得了SMA螺旋弹簧的几何参数D、d、n值。
例1 某微小型机器人上用的TiNi双程记忆效应螺旋弹簧，机械性能如下，高、低温时的弹性模量分别为：GH=25 GPa，GL=7.5 GPa，使用条件为：高温时的载荷FH＝3 N，低温时的载荷FL=1.5 N，工作行程Δδ=2 mm，作用次数为2万～3万次。设计此螺旋弹簧。
解：(1)首先确定最大剪切应变γmax
这里取γmax=1.5%。
(2)确定高、低温时的剪切应变量γH和γL
由式(8)得：
可见γH<γL，故取γL=γmax=1.5%，
γH=0.6γL=0.6×1.5%=0.9%。
(3)确定高温下的剪切应力τH
由式(14)得：
τH＝γHGH＝0．9％×25＝0．225GPa＝225MPa
(4)设定弹簧指数
取C=6，则由式(5)得k=1.25
(5)计算弹簧丝直径d和弹簧直径D
由式(15)得：
取d=0.5 mm。
代入式(16)得：
D=6×0．5＝3 mm。
(6)计算螺旋弹簧 的有效圈数n
高低温时剪切应变之差为：
Δγ=γL-γH=1.5%-0.9%=0.6%
代入式(18)可得：
 圈
取n=6 圈
至此，螺旋弹簧的主要参数都求出来了。
5.2 图解设计法
图解设计法是在测得的τ—γ曲线上，用作图的方法来选择，确定高、低温时的应变值γH、γL的方法，它与前面的表观设计法的区别在于，整个设计过程中都不使用弹性模量。
根据弹簧剪切应力和应变的计算公式(7)和式(17)，可以从F—δ的测得值算出τ—γ值及其曲线图。
图6是由实测结果得到的一组不同温度下的τ—γ曲线图。
图6 用不同温度下的τ—γ曲线 图解设计法的步骤如下：
(1)根据实际使用的温度在τ—γ线图上找出对应的τ—γ曲线；
(2)依据γmax的值，在保证γL<γmax的条件下确定γL值，找出γ=γL与低温τ—γ曲线的交点；
(3)根据工作载荷的性质在τ—γ线图上作出载荷特性曲线(F—δ)曲线，非平直线即斜线)，并使载荷特性曲线通过上步的交点，这样，载荷特性曲线与τ—γ曲线族中的每一条曲线都相交；
(4)从图中找出载荷特性曲线与高温τ—γ曲线的交点，从而确定出γH值；
(5)在τ—γ线图上找出相应的τH、τL的值；
(6)选择弹簧指数C，C的取值范围一般4～10之间，常取在6附近；
(7)通过式(15)求出弹簧丝直径d值；
(8)通过式(16)求出弹簧中径D值；
(9)通过式(18)求出弹簧有效圈数n值。
例2 设计CuZnAl双程记忆效应螺旋弹簧，条件是：动作的温度范围在60 ℃～70 ℃，动作行程Δδ=5 mm，高温下的载荷FH＝10 N，反复次数在100万次以上，载荷特性曲线F—δ为斜线，如图6所示。
解：(1)在图6中找出60 ℃和70 ℃时对应的τ—γ曲线。
(2)取γmax=0.8，则取γL=0.72%
在图6上找出γ=γL与60 ℃时τ—γ曲线的交点PL。
(3)使载荷特性线曲F—δ通过点PL，并与70 ℃时的τ—γ曲线交于点PH，从图上读得γH=0.52。
(4)在τ—γ曲线上读出相应的高、低温剪切应力值为：
τH＝48 MPa，τL＝32 MPa。
(5)取弹簧指数C=6，则k=1.25
(6)由式(15)得：
取d=2.0 mm，
于是D=Cd=6×2=12 mm。
(7)求弹簧有效圈数n
Δγ=γL-γH=0.72%-0.52%=0.2%代入式(18)可得：
 圈
5.3 回归分析法
所谓回归分析，就是根据对测得的不同温度下的SMA螺旋弹簧的τ—γ曲线进行回归分析，拟合出τ随γ、T变化的数学经验公式。利用得到的经验公式在计算机上进行CAD设计。
由于τ=τ(γ，T)是二元函数，回归分析比较复杂，方法可以有多种，笔者曾根据台劳公式，用n次多项式进行回归，得到的经验公式如下：
 (19) 其中a0、b、ai都是待定常数，可将观测点(τj,γj,Tj)，(j=1,2,3,…)代入上式求出。
由于回归分析法过程繁琐复杂，故此处不再举例。
在设计SMA螺旋弹簧时，可以根据弹簧不同的使用条件采用不同的设计方法。
当只考虑T>Af的完全马氏体状态和T<Mf的完全奥氏体状态这两种状态，而不考虑过度状态的特性时，为了简化计算，可以采用表观设计法；
当我们同时还关心弹簧在Mf到Af之间的过度状态时，可以采用回归分析法；
在任何状态下，特别是当工作点选在Mf到Af之间时，可以使用图解法。
** 国家自然科学基金资助项目,资助号-59777019 作者单位：石油大学(华东) 东营 257062 参考文献
1 杨 杰，吴月华.形状记忆合金及其应用.中国科学技术大学出版社，1993
2 陶宝祺.智能材料结构.国防工业出版，1997
3 杨 杰.形状记忆合金螺旋弹簧的性能测试及设计方法.中国科学技术大学学报，1992，3
4 李 兵，江伯鸿，徐祖耀.形状记忆合金弹簧元件的计算机辅助设计.机械工程材料，1990，4 | 
