2 新型机床的机构介绍

3 运动学分析

1. 等效机构
   在过去，对于并联机床的运动学进行了广泛的研究，其方法主要有增加传感器方法和数值解法，其目的是求非线方程的根。一些文献提出了一种相对简单的方法，其主要思想是在动静平台之间引入一虚拟的等效的串联机构，假想的串联机构在运动学上和并联机构相等效并用来建立迭代算法，这是基于假想的串联坐标[Q]，如图2所示。
   为了清楚地描述算法，我们定义了两种坐标。一个是输入坐标[H]=[H₁H₂…H₄]^T是滑块位移，另一个是广义坐标[Q]=[Q₁Q₂…Q₄]^T，是假想的串联机构，如图3所示，链的参数如下表所示。
    

   表   假想串联机构的参数

   链	qi	aI	ai	di
   0	90°	90°	0	0
   1	0°	-90°	0	Q1
   2	-90°	-90°	0	Q2
   3	-90°+Q3	-90°	0	0
   4	-90°+Q4	-90°	0	0
   5	-90°	0°	0	0

   
   图3 五坐标并联机床的模型

   基于通常的D-H变换传递矩阵：

   	(1)
   该机构的传递矩阵：	(2)
   这里，Ci=cosQi，Si=sinQi，那么动平台的位置和姿态矩阵为：	(3)

   从方程(2)和(3)知，位置广义坐标为：

   (4)

2. 反运动学
   根据上述，反运动学能表示为如下形式，[H]和[Q]的关系也就清楚地表达出来了。给定待切削点的位置和姿态如方程(3)，求每个滑块的广义坐标H_i(I=1，…，5)。
   派生运动为：

   	(5)
   H5=-Py+ay•Zt	(6)

   动平台原点坐标为：

   (7)

   关节t_i(i=1，…，4)的坐标为：

   	(8)
   	(9)
   	(10)
   	(11)

   这里：
    
   因此，每个滑块的位移为：

   (12)

3. 正运动学算法
   动平台中心的速度用如下变量来表示：，串联机构的速度为：，其关系为：

   (13)

   这里J₁是Jacobian矩阵。设是输入滑块的速度，

   (14)

   这里：

   (15)

   删去J₂矩阵的第二列和第六列，J₂变成一个方阵。

   (16)

   这里L_i0是L_i的单位矢量，L_0iz是L_i0的Z向分量值：

   (17)

   从(5)和(10)，基于Newton迭代方程，正解如下：

   (18)

   按照给定的输入坐标[H]迭代出[Q]的值。那么位姿[T_s]就可以根据(2)式求出来了。运动学正解也便求出来了。

4 结论